线性代数示例

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$

解题步骤 2

大小为 $4$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $4 \times 4$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $[\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

解题步骤 3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{4}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.5

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.5.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.5.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.9.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.10

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.10.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.10.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.12

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.12.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.12.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.13

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.13.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.13.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.14

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.14.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.14.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.15

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.15.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.15.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & 1 - λ & 8 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & 1 - λ & 8 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & 1 - λ & 8 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 + 0 & 1 - λ & 8 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.4

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.7

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.8

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 - λ & 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.10

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 - λ & 0 \\ 2 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.11

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 - λ & 0 \\ 2 & - 2 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.12

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 - λ & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $4$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.1.3

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.4

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.5

The minor for $a_{24}$ is the determinant with row $2$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.6

Multiply element $a_{24}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.7

The minor for $a_{34}$ is the determinant with row $3$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.8

Multiply element $a_{34}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.9

The minor for $a_{44}$ is the determinant with row $4$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.10

Multiply element $a_{44}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.4

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.5

计算 $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 8 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 8 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 8 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 8 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3

计算 $| \begin{array}{c} 1 - λ & 8 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.5.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) ((1 - λ) (2 - λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 5.5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 - λ) (2 - λ)$ 。

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解题步骤 5.5.3.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.5.3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.2.1.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.2.1.2

将 $- λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.5.3.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - 2 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.2.2

从 $- λ$ 中减去 $2 λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.3

乘以 $- (- 3 \cdot 8)$ 。

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解题步骤 5.5.3.2.1.3.1

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - - 24) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 24$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} + 24) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.2

将 $2$ 和 $24$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (- 3 λ + λ^{2} + 26) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.3

将 $- 3 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.4

计算 $| \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (5 \cdot - 3 - 3 (1 - λ)))$

解题步骤 5.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.4.2.1.1

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (- 15 - 3 (1 - λ)))$

解题步骤 5.5.4.2.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (- 15 - 3 \cdot 1 - 3 (- λ)))$

解题步骤 5.5.4.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (- 15 - 3 - 3 (- λ)))$

解题步骤 5.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (- 15 - 3 + 3 λ))$

解题步骤 5.5.4.2.2

从 $- 15$ 中减去 $3$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (- 18 + 3 λ))$

解题步骤 5.5.4.2.3

将 $- 18$ 和 $3 λ$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5

化简行列式。

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解题步骤 5.5.5.1

将 $(3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.5.5.2.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26)$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} + 3 (- 3 λ) + 3 \cdot 26 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.5.5.2.2.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 3 \cdot 26 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.2.2

将 $3$ 乘以 $26$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.2.3

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.5.2.2.3.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.2.3.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.5.5.2.2.3.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.2.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.2.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.5.5.2.2.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.2.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.2.7

将 $26$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} + 3 λ^{2} - 26 λ + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.3

将 $3 λ^{2}$ 和 $3 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} - 26 λ + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.4

从 $- 9 λ$ 中减去 $26 λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 35 λ + 78 - λ^{3} + 2 (3 λ - 18))$

解题步骤 5.5.5.2.5

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 35 λ + 78 - λ^{3} + 2 (3 λ) + 2 \cdot - 18)$

解题步骤 5.5.5.2.6

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 35 λ + 78 - λ^{3} + 6 λ + 2 \cdot - 18)$

解题步骤 5.5.5.2.7

将 $2$ 乘以 $- 18$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 35 λ + 78 - λ^{3} + 6 λ - 36)$

解题步骤 5.5.5.3

将 $- 35 λ$ 和 $6 λ$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 29 λ + 78 - λ^{3} - 36)$

解题步骤 5.5.5.4

从 $78$ 中减去 $36$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 29 λ - λ^{3} + 42)$

解题步骤 5.5.5.5

移动 $- 29 λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - λ^{3} - 29 λ + 42)$

解题步骤 5.5.5.6

将 $6 λ^{2}$ 和 $- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$

解题步骤 5.6

化简行列式。

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解题步骤 5.6.1

合并 $0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$ 中相反的项。

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解题步骤 5.6.1.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$

解题步骤 5.6.1.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$

解题步骤 5.6.1.3

将 $0$ 和 $(2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$ 相加。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$

解题步骤 5.6.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$ 。

$p (λ) = 2 (- λ^{3}) + 2 (6 λ^{2}) + 2 (- 29 λ) + 2 \cdot 42 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3

化简每一项。

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解题步骤 5.6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 2 (6 λ^{2}) + 2 (- 29 λ) + 2 \cdot 42 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} + 2 (- 29 λ) + 2 \cdot 42 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.3

将 $- 29$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 2 \cdot 42 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.4

将 $2$ 乘以 $42$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.5

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.6

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{3}$ 。

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解题步骤 5.6.3.6.1

移动 $λ^{3}$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.6.2

将 $λ^{3}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.6.3.6.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.6.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.8

将 $λ^{4}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.9

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.10

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.6.3.10.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.10.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.6.3.10.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{2 + 1} - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.10.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{3} - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.11

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 6 λ^{3} - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.12

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 29 λ \cdot λ - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.13

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.6.3.13.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 29 (λ \cdot λ) - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.13.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 29 λ^{2} - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.14

将 $- 1$ 乘以 $- 29$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 29 λ^{2} - λ \cdot 42$

解题步骤 5.6.3.15

将 $42$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 29 λ^{2} - 42 λ$

解题步骤 5.6.4

从 $- 2 λ^{3}$ 中减去 $6 λ^{3}$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} + 29 λ^{2} - 42 λ$

解题步骤 5.6.5

将 $12 λ^{2}$ 和 $29 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 42 λ$

解题步骤 5.6.6

从 $- 58 λ$ 中减去 $42 λ$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84 + λ^{4}$

解题步骤 5.6.7

移动 $84$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + λ^{4} + 84$

解题步骤 5.6.8

移动 $- 100 λ$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} + λ^{4} - 100 λ + 84$

解题步骤 5.6.9

移动 $41 λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + λ^{4} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84$

解题步骤 5.6.10

将 $- 8 λ^{3}$ 和 $λ^{4}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{4} - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84$

解题步骤 6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{4} - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84 = 0$

解题步骤 7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.1.1

使用有理根检验法因式分解 $λ^{4} - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

$q = \pm 1$

解题步骤 7.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

解题步骤 7.1.1.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 7.1.1.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2^{4} - 8 \cdot 2^{3} + 41 \cdot 2^{2} - 100 \cdot 2 + 84$

解题步骤 7.1.1.3.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 - 8 \cdot 2^{3} + 41 \cdot 2^{2} - 100 \cdot 2 + 84$

解题步骤 7.1.1.3.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$16 - 8 \cdot 8 + 41 \cdot 2^{2} - 100 \cdot 2 + 84$

解题步骤 7.1.1.3.4

将 $- 8$ 乘以 $8$ 。

$16 - 64 + 41 \cdot 2^{2} - 100 \cdot 2 + 84$

解题步骤 7.1.1.3.5

从 $16$ 中减去 $64$ 。

$- 48 + 41 \cdot 2^{2} - 100 \cdot 2 + 84$

解题步骤 7.1.1.3.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 48 + 41 \cdot 4 - 100 \cdot 2 + 84$

解题步骤 7.1.1.3.7

将 $41$ 乘以 $4$ 。

$- 48 + 164 - 100 \cdot 2 + 84$

解题步骤 7.1.1.3.8

将 $- 48$ 和 $164$ 相加。

$116 - 100 \cdot 2 + 84$

解题步骤 7.1.1.3.9

将 $- 100$ 乘以 $2$ 。

$116 - 200 + 84$

解题步骤 7.1.1.3.10

从 $116$ 中减去 $200$ 。

$- 84 + 84$

解题步骤 7.1.1.3.11

将 $- 84$ 和 $84$ 相加。

$0$

解题步骤 7.1.1.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $λ - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{λ^{4} - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84}{λ - 2}$

解题步骤 7.1.1.5

用 $λ^{4} - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84$ 除以 $λ - 2$ 。

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解题步骤 7.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

解题步骤 7.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $λ^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

解题步骤 7.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

解题步骤 7.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $λ^{4} - 2 λ^{3}$ 中的所有符号

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

解题步骤 7.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

解题步骤 7.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 6 λ^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 λ^{3} + 12 λ^{2}$ 中的所有符号

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

解题步骤 7.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $29 λ^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

解题步骤 7.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

解题步骤 7.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $29 λ^{2} - 58 λ$ 中的所有符号

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

解题步骤 7.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

$42 λ$

解题步骤 7.1.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

$42 λ$

$84$

解题步骤 7.1.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $- 42 λ$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$42$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

$42 λ$

$84$

解题步骤 7.1.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$42$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

$42 λ$

$84$

$42 λ$

$84$

解题步骤 7.1.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 42 λ + 84$ 中的所有符号

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$42$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

$42 λ$

$84$

$42 λ$

$84$

解题步骤 7.1.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$42$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

$42 λ$

$84$

$42 λ$

$84$

$0$

解题步骤 7.1.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42$

解题步骤 7.1.1.6

将 $λ^{4} - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84$ 书写为因数的集合。

$(λ - 2) (λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42) = 0$

解题步骤 7.1.2

使用有理根检验法因式分解 $λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

使用有理根检验法因式分解 $λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42$ 。

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解题步骤 7.1.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 42, \pm 2, \pm 21, \pm 3, \pm 14, \pm 6, \pm 7$

$q = \pm 1$

解题步骤 7.1.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 42, \pm 2, \pm 21, \pm 3, \pm 14, \pm 6, \pm 7$

解题步骤 7.1.2.1.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 7.1.2.1.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 29 \cdot 2 - 42$

解题步骤 7.1.2.1.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 29 \cdot 2 - 42$

解题步骤 7.1.2.1.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 6 \cdot 4 + 29 \cdot 2 - 42$

解题步骤 7.1.2.1.3.4

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$8 - 24 + 29 \cdot 2 - 42$

解题步骤 7.1.2.1.3.5

从 $8$ 中减去 $24$ 。

$- 16 + 29 \cdot 2 - 42$

解题步骤 7.1.2.1.3.6

将 $29$ 乘以 $2$ 。

$- 16 + 58 - 42$

解题步骤 7.1.2.1.3.7

将 $- 16$ 和 $58$ 相加。

$42 - 42$

解题步骤 7.1.2.1.3.8

从 $42$ 中减去 $42$ 。

$0$

解题步骤 7.1.2.1.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $λ - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42}{λ - 2}$

解题步骤 7.1.2.1.5

用 $λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42$ 除以 $λ - 2$ 。

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解题步骤 7.1.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$42$

解题步骤 7.1.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $λ^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$

解题步骤 7.1.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

解题步骤 7.1.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $λ^{3} - 2 λ^{2}$ 中的所有符号

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

解题步骤 7.1.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$

解题步骤 7.1.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$

解题步骤 7.1.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 4 λ^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$

解题步骤 7.1.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$

解题步骤 7.1.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 λ^{2} + 8 λ$ 中的所有符号

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

解题步骤 7.1.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$21 λ$

解题步骤 7.1.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$21 λ$	-	$42$

解题步骤 7.1.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $21 λ$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$21$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$21 λ$	-	$42$

解题步骤 7.1.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$21$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$21 λ$	-	$42$
							+	$21 λ$	-	$42$

解题步骤 7.1.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $21 λ - 42$ 中的所有符号

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$21$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$21 λ$	-	$42$
							-	$21 λ$	+	$42$

解题步骤 7.1.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$21$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$21 λ$	-	$42$
							-	$21 λ$	+	$42$
										$0$

解题步骤 7.1.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$λ^{2} - 4 λ + 21$

解题步骤 7.1.2.1.6

将 $λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42$ 书写为因数的集合。

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 21)) = 0$

解题步骤 7.1.2.2

去掉多余的括号。

$(λ - 2) (λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 21) = 0$

解题步骤 7.1.3

合并同类因式。

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解题步骤 7.1.3.1

对 $λ - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(λ - 2) (λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 21) = 0$

解题步骤 7.1.3.2

对 $λ - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(λ - 2) (λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 21) = 0$

解题步骤 7.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(λ - 2)}^{1 + 1} (λ^{2} - 4 λ + 21) = 0$

解题步骤 7.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(λ - 2)}^{2} (λ^{2} - 4 λ + 21) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(λ - 2)}^{2} = 0$

$λ^{2} - 4 λ + 21 = 0$

解题步骤 7.3

将 ${(λ - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 ${(λ - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(λ - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 7.3.2

求解 $λ$ 的 ${(λ - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $λ - 2$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 2 = 0$

解题步骤 7.3.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$λ = 2$

解题步骤 7.4

将 $λ^{2} - 4 λ + 21$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $λ^{2} - 4 λ + 21$ 设为等于 $0$ 。

$λ^{2} - 4 λ + 21 = 0$

解题步骤 7.4.2

求解 $λ$ 的 $λ^{2} - 4 λ + 21 = 0$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = 21$ 的值代入二次公式中并求解 $λ$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 21)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3

化简。

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解题步骤 7.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.4.2.3.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 21$ 。

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解题步骤 7.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $21$ 。

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 84}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.3

从 $16$ 中减去 $84$ 。

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{- 68}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.4

将 $- 68$ 重写为 $- 1 (68)$ 。

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 68}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (68)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}$ 。

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$λ = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.7

将 $68$ 重写为 $2^{2} \cdot 17$ 。

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解题步骤 7.4.2.3.1.7.1

从 $68$ 中分解出因数 $4$ 。

$λ = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$λ = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$λ = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{17})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$λ = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{17}}{2}$

解题步骤 7.4.2.3.3

化简 $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{17}}{2}$ 。

$λ = 2 \pm i \sqrt{17}$

解题步骤 7.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$λ = 2 + i \sqrt{17}, 2 - i \sqrt{17}$

解题步骤 7.5

最终解为使 ${(λ - 2)}^{2} (λ^{2} - 4 λ + 21) = 0$ 成立的所有值。

$λ = 2, 2 + i \sqrt{17}, 2 - i \sqrt{17}$

线性代数 示例

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